Парадокс дней рождений
читать
статья
Не следует путать с эффектом дня рождения — статистическим феноменом, заключающимся в увеличении вероятности смерти человека в день его рождения или близко к этой дате.
Парадокс дней рождения — утверждение, состоящее в том, что в группе из 23 или более человек вероятность совпадения дней рождения (число и месяц) хотя бы у двух людей превышает 50%. Например, если в классе 23 ученика или более,
то более вероятно то, что у какой-то пары одноклассников дни рождения придутся на один день, чем то, что у каждого будет свой неповторимый день рождения. Впервые эта задача была рассмотрена Рихардом Мизесом в 1939 году.
Для 57 и более человек вероятность такого совпадения превышает 99%, хотя 100% она достигает, согласно принципу Дирихле, только тогда, когда в группе не менее 367 человек — ровно на единицу больше, чем число дней
в високосном году.
Такое утверждение может показаться неочевидным, так как вероятность совпадения дней рождения двух человек, равная 1/365, умноженная на число человек в группе (23), даёт лишь около 6,3%. Это рассуждение неверно, так как число возможных пар значительно превышает число человек в группе: 253 > 23. Таким образом, утверждение не является парадоксом в строгом научном смысле: логического противоречия в нём нет, а парадокс заключается лишь в различиях между интуитивным восприятием ситуации человеком и результатами математического расчёта.
Парадокс дней рождения — утверждение, состоящее в том, что в группе из 23 или более человек вероятность совпадения дней рождения (число и месяц) хотя бы у двух людей превышает 50%. Например, если в классе 23 ученика или более,
то более вероятно то, что у какой-то пары одноклассников дни рождения придутся на один день, чем то, что у каждого будет свой неповторимый день рождения. Впервые эта задача была рассмотрена Рихардом Мизесом в 1939 году.
Для 57 и более человек вероятность такого совпадения превышает 99%, хотя 100% она достигает, согласно принципу Дирихле, только тогда, когда в группе не менее 367 человек — ровно на единицу больше, чем число дней
в високосном году.
Такое утверждение может показаться неочевидным, так как вероятность совпадения дней рождения двух человек, равная 1/365, умноженная на число человек в группе (23), даёт лишь около 6,3%. Это рассуждение неверно, так как число возможных пар значительно превышает число человек в группе: 253 > 23. Таким образом, утверждение не является парадоксом в строгом научном смысле: логического противоречия в нём нет, а парадокс заключается лишь в различиях между интуитивным восприятием ситуации человеком и результатами математического расчёта.
Интуитивное восприятие
В группе из 23 человек вероятность совпадения дней рождения у двух человек столь высока, потому что рассматривается вероятность совпадения дней рождения у любых двух человек в группе. Эта вероятность определяется количеством пар людей, которые можно составить из 23 человек. Так как порядок людей в парах не имеет значения, общее число таких пар равно числу сочетаний из 23 по 2, то есть (23 × 22) / 2 = 253 пары.
В формулировке парадокса речь идёт именно о совпадении дней рождения у каких-либо двух членов группы. Одно из распространённых заблуждений состоит в том, что этот случай путают с другим случаем, на первый взгляд похожим, когда из группы выбирается один человек и оценивается вероятность того, что день рождения каких-либо других членов группы совпадёт с днём рождения выбранного человека. В последнем случае вероятность совпадения значительно ниже.
В формулировке парадокса речь идёт именно о совпадении дней рождения у каких-либо двух членов группы. Одно из распространённых заблуждений состоит в том, что этот случай путают с другим случаем, на первый взгляд похожим, когда из группы выбирается один человек и оценивается вероятность того, что день рождения каких-либо других членов группы совпадёт с днём рождения выбранного человека. В последнем случае вероятность совпадения значительно ниже.
Расчёт вероятности
Требуется определить вероятность того, что в группе из n человек как минимум у двух из них дни рождения совпадут.
Пусть дни рождения распределены равномерно, то есть примем, что:
Пусть дни рождения распределены равномерно, то есть примем, что:
- в году 365 дней (нет високосных лет);
- в группе нет людей, заведомо родившихся в один день (например, близнецов);
- рождаемость не зависит от дня недели, времени года и других факторов.
да никому не нужны эти цифры, мы че математики
В компании из 23 человек шанс совпадения дней рождения уже больше 50%. Так что фраза «это мой день!» может неожиданно потребовать уточнения: «наш»
